Issolvi {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y+3=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x+2y=-3$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y-3$$

Issostitwixxi -2y-3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+5y+6=0.

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

Immultiplika 4 b'-2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

Żid -8y ma' 5y.

$$-3y-12+6=0$$

Żid -12 ma' 6.

$$-3y-6=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-2y-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

Immultiplika -2 b'-2.

$$x=4-3$$

Żid -3 ma' 4.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Biex tagħmel x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

Issimplifika.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

Naqqas 4x+5y+6=0 minn 4x+8y+12=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y-5y+12-6=0$$

Żid 8y ma' -5y.

$$3y+12-6=0$$

Żid 12 ma' -6.

$$3y+6=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'4x+5y+6=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

Immultiplika 5 b'-2.

$$4x-10+6=0$$

Żid -10 ma' 6.

$$4x-4=0$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-2$$