Issolvi {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$x+15-y=0$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-y=-15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$4x-y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-y=-15$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=y-15$$

Issostitwixxi y-15 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Immultiplika 4 b'y-15.

$$4y-60-y=0$$

Żid 4y ma' -y.

$$3y-60=0$$

Żid 60 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=60$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=20$$

Issostitwixxi 20 għal y f'x=y-15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=20-15$$

Żid -15 ma' 20.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=20$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$x+15-y=0$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-y=-15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$4x-y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=20$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$x+15-y=0$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-y=-15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$4x-y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Naqqas 4x-y=0 minn x-y=-15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-4x-y+y=-15$$

Żid -y ma' y. -y u y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$x-4x=-15$$

Żid x ma' -4x.

$$-3x=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=5$$

Issostitwixxi 5 għal x f'4x-y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$4\times 5-y=0$$

Immultiplika 4 b'5.

$$20-y=0$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=20$$