Issolvi {l}{t+2s=-1}{s=t+10}

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal t, s

$$t=-7$$

$$s=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas t miż-żewġ naħat.

$$s-t=10$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal t billi tiżola t fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$t+2s=-1$$

Naqqas 2s miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$t=-2s-1$$

Issostitwixxi -2s-1 għal t fl-ekwazzjoni l-oħra, -t+s=10.

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

Immultiplika -1 b'-2s-1.

$$2s+1+s=10$$

Żid 2s ma' s.

$$3s+1=10$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3s=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$s=3$$

Issostitwixxi 3 għal s f't=-2s-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal t direttament.

$$t=-2\times 3-1$$

Immultiplika -2 b'3.

$$t=-6-1$$

Żid -1 ma' -6.

$$t=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$t=-7,s=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas t miż-żewġ naħat.

$$s-t=10$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi t u s.

$$t=-7,s=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas t miż-żewġ naħat.

$$s-t=10$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Biex tagħmel t u -t ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

Issimplifika.

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

Naqqas -t+s=10 minn -t-2s=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-t+t-2s-s=1-10$$

Żid -t ma' t. -t u t jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2s-s=1-10$$

Żid -2s ma' -s.

$$-3s=1-10$$

Żid 1 ma' -10.

$$-3s=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$s=3$$

Issostitwixxi 3 għal s f'-t+s=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal t direttament.

$$-t+3=10$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-t=7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$t=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$t=-7,s=3$$