Issolvi {l}{p+b=130}{p+1.09b=136.75}

$$\left. \begin{array} { l } { p + b = 130 } \\ { p + 1.09 b = 136.75 } \end{array} \right.$$

Solvi għal p, b

$$p=55$$

$$b=75$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal p billi tiżola p fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$p+b=130$$

Naqqas b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$p=-b+130$$

Issostitwixxi -b+130 għal p fl-ekwazzjoni l-oħra, p+1.09b=136.75.

$$-b+130+1.09b=136.75$$

Żid -b ma' \frac{109b}{100}.

$$0.09b+130=136.75$$

Naqqas 130 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.09b=6.75$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.09, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=75$$

Issostitwixxi 75 għal b f'p=-b+130. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p=-75+130$$

Żid 130 ma' -75.

$$p=55$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=55,b=75$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.09}{1.09-1}&-\frac{1}{1.09-1}\\-\frac{1}{1.09-1}&\frac{1}{1.09-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}&-\frac{100}{9}\\-\frac{100}{9}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}\times 130-\frac{100}{9}\times 136.75\\-\frac{100}{9}\times 130+\frac{100}{9}\times 136.75\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\75\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi p u b.

$$p=55,b=75$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

Naqqas p+1.09b=136.75 minn p+b=130 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$p-p+b-1.09b=130-136.75$$

Żid p ma' -p. p u -p jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$b-1.09b=130-136.75$$

Żid b ma' -\frac{109b}{100}.

$$-0.09b=130-136.75$$

Żid 130 ma' -136.75.

$$-0.09b=-6.75$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-0.09, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=75$$

Issostitwixxi 75 għal b f'p+1.09b=136.75. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p+1.09\times 75=136.75$$

Immultiplika 1.09 b'75.

$$p+81.75=136.75$$

Naqqas 81.75 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$p=55$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=55,b=75$$