Issolvi {l}{n+y=4}{2n+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Solvi għal n, y

$$y=4$$

$$n=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal n billi tiżola n fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$n+y=4$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$n=-y+4$$

Issostitwixxi -y+4 għal n fl-ekwazzjoni l-oħra, 2n+3y=12.

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

Immultiplika 2 b'-y+4.

$$-2y+8+3y=12$$

Żid -2y ma' 3y.

$$y+8=12$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'n=-y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal n direttament.

$$n=-4+4$$

Żid 4 ma' -4.

$$n=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$n=0,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi n u y.

$$n=0,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

Biex tagħmel n u 2n ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

Issimplifika.

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

Naqqas 2n+3y=12 minn 2n+2y=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

Żid 2n ma' -2n. 2n u -2n jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-3y=8-12$$

Żid 2y ma' -3y.

$$-y=8-12$$

Żid 8 ma' -12.

$$-y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'2n+3y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal n direttament.

$$2n+3\times 4=12$$

Immultiplika 3 b'4.

$$2n+12=12$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2n=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$n=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$n=0,y=4$$