Issolvi {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m=-1$$

$$n=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$m+2n=5$$

Naqqas 2n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$m=-2n+5$$

Issostitwixxi -2n+5 għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, -2m+n+2=7.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

Immultiplika -2 b'-2n+5.

$$4n-10+n+2=7$$

Żid 4n ma' n.

$$5n-10+2=7$$

Żid -10 ma' 2.

$$5n-8=7$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5n=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$n=3$$

Issostitwixxi 3 għal n f'm=-2n+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=-2\times 3+5$$

Immultiplika -2 b'3.

$$m=-6+5$$

Żid 5 ma' -6.

$$m=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=-1,n=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=-1,n=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Biex tagħmel m u -2m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

Issimplifika.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

Naqqas -2m+n+2=7 minn -2m-4n=-10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

Żid -2m ma' 2m. -2m u 2m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4n-n-2=-10-7$$

Żid -4n ma' -n.

$$-5n-2=-10-7$$

Żid -10 ma' -7.

$$-5n-2=-17$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5n=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$n=3$$

Issostitwixxi 3 għal n f'-2m+n+2=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$-2m+3+2=7$$

Żid 3 ma' 2.

$$-2m+5=7$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2m=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$m=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=-1,n=3$$