Issolvi {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$fx-y=7$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$fy-9x=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$fx-y=7$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$fx=y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{f} b'y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Issostitwixxi \frac{7+y}{f} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Immultiplika -9 b'\frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Żid -\frac{9y}{f} ma' fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Żid \frac{63}{f} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Issostitwixxi \frac{63+8f}{f^{2}-9} għal y f'x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Immultiplika \frac{1}{f} b'\frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Żid \frac{7}{f} ma' \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$fx-y=7$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$fy-9x=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$fx-y=7$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$fy-9x=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Biex tagħmel fx u -9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Issimplifika.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Naqqas \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f minn \left(-9f\right)x+9y=-63 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Żid -9fx ma' 9fx. -9fx u 9fx jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Żid 9y ma' -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Żid -63 ma' -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Issostitwixxi -\frac{63+8f}{9-f^{2}} għal y f'-9x+fy=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Immultiplika f b'-\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Żid \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$fx-y=7$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$fy-9x=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$fx-y=7$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$fx=y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{f} b'y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Issostitwixxi \frac{7+y}{f} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Immultiplika -9 b'\frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Żid -\frac{9y}{f} ma' fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Żid \frac{63}{f} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Issostitwixxi \frac{63+8f}{f^{2}-9} għal y f'x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Immultiplika \frac{1}{f} b'\frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Żid \frac{7}{f} ma' \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$fx-y=7$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$fy-9x=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$fx-y=7$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$fy-9x=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Biex tagħmel fx u -9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Issimplifika.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Naqqas \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f minn \left(-9f\right)x+9y=-63 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Żid -9fx ma' 9fx. -9fx u 9fx jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Żid 9y ma' -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Żid -63 ma' -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Issostitwixxi -\frac{63+8f}{9-f^{2}} għal y f'-9x+fy=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Immultiplika f b'-\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Żid \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$