Issolvi {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$cx+y=69$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$cx=-y+69$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'c.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

Immultiplika \frac{1}{c} b'-y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

Issostitwixxi \frac{69-y}{c} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

Immultiplika 2 b'\frac{69-y}{c}.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

Żid -\frac{2y}{c} ma' y.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

Naqqas \frac{138}{c} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'\frac{-2+c}{c}.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Issostitwixxi \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} għal y f'x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

Immultiplika -\frac{1}{c} b'\frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

Żid \frac{69}{c} ma' -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Naqqas 2x+y=87 minn cx+y=69 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$cx-2x=69-87$$

Żid cx ma' -2x.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

Żid 69 ma' -87.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'c-2.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Issostitwixxi -\frac{18}{c-2} għal x f'2x+y=87. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

Immultiplika 2 b'-\frac{18}{c-2}.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Żid \frac{36}{c-2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$