Issolvi {l}{a=b}{a+b=5}

$$\left. \begin{array} { l } { a = b } \\ { a + b = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$b = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$a-b=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$a-b=0,a+b=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$a-b=0$$

Żid b maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=b$$

Issostitwixxi b għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, a+b=5.

$$b+b=5$$

Żid b ma' b.

$$2b=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$b=\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5}{2} għal b f'a=b. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$a-b=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$a-b=0,a+b=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$a-b=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$a-b=0,a+b=5$$

Naqqas a+b=5 minn a-b=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$a-a-b-b=-5$$

Żid a ma' -a. a u -a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-b-b=-5$$

Żid -b ma' -b.

$$-2b=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$b=\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5}{2} għal b f'a+b=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a+\frac{5}{2}=5$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$