Issolvi {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$Ax+By=C$$

Naqqas By miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'A.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

Immultiplika \frac{1}{A} b'-By+C.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

Issostitwixxi \frac{-By+C}{A} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

Immultiplika D b'\frac{-By+C}{A}.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Żid -\frac{DBy}{A} ma' Cy.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

Naqqas \frac{DC}{A} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'C-\frac{DB}{A}.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Issostitwixxi \frac{FA-DC}{CA-DB} għal y f'x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

Immultiplika -\frac{B}{A} b'\frac{FA-DC}{CA-DB}.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

Żid \frac{C}{A} ma' -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Biex tagħmel Ax u Dx ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'D u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'A.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

Issimplifika.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

Naqqas ADx+ACy=AF minn ADx+BDy=CD billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Żid DAx ma' -DAx. DAx u -DAx jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Żid DBy ma' -ACy.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'DB-AC.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Issostitwixxi \frac{DC-AF}{DB-AC} għal y f'Dx+Cy=F. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

Immultiplika C b'\frac{DC-AF}{DB-AC}.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

Naqqas \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'D.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$