Issolvi {l}{A+B+1=0}{A-2B=3}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal A, B

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal A billi tiżola A fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$A+B+1=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$A+B=-1$$

Naqqas B miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$A=-B-1$$

Issostitwixxi -B-1 għal A fl-ekwazzjoni l-oħra, A-2B=3.

$$-B-1-2B=3$$

Żid -B ma' -2B.

$$-3B-1=3$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3B=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$B=-\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{4}{3} għal B f'A=-B-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

Immultiplika -1 b'-\frac{4}{3}.

$$A=\frac{4}{3}-1$$

Żid -1 ma' \frac{4}{3}.

$$A=\frac{1}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi A u B.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Naqqas A-2B=3 minn A+B+1=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$A-A+B+2B+1=-3$$

Żid A ma' -A. A u -A jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$B+2B+1=-3$$

Żid B ma' 2B.

$$3B+1=-3$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3B=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$B=-\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{4}{3} għal B f'A-2B=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

Immultiplika -2 b'-\frac{4}{3}.

$$A+\frac{8}{3}=3$$

Naqqas \frac{8}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$A=\frac{1}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$