Issolvi {l}{9x-7y=-19}{3x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9x-7y=-19$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=7y-19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'7y-19.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

Issostitwixxi \frac{7y-19}{9} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+y=7.

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

Immultiplika 3 b'\frac{7y-19}{9}.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

Żid \frac{7y}{3} ma' y.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

Żid \frac{19}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{10}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

Immultiplika \frac{7}{9} b'4.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

Żid -\frac{19}{9} ma' \frac{28}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Biex tagħmel 9x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'9.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

Issimplifika.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

Naqqas 27x+9y=63 minn 27x-21y=-57 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

Żid 27x ma' -27x. 27x u -27x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-21y-9y=-57-63$$

Żid -21y ma' -9y.

$$-30y=-57-63$$

Żid -57 ma' -63.

$$-30y=-120$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-30.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'3x+y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+4=7$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=4$$