Issolvi {l}{9x-4y=7}{x-4y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 7 } \\ { x - 4 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9x-4y=7$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=4y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'4y+7.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}$$

Issostitwixxi \frac{4y+7}{9} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-4y=-17.

$$\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}-4y=-17$$

Żid \frac{4y}{9} ma' -4y.

$$-\frac{32}{9}y+\frac{7}{9}=-17$$

Naqqas \frac{7}{9} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{32}{9}y=-\frac{160}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{32}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{9}\times 5+\frac{7}{9}$$

Immultiplika \frac{4}{9} b'5.

$$x=\frac{20+7}{9}$$

Żid \frac{7}{9} ma' \frac{20}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-17\right)\\\frac{1}{32}\times 7-\frac{9}{32}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Naqqas x-4y=-17 minn 9x-4y=7 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$9x-x-4y+4y=7+17$$

Żid -4y ma' 4y. -4y u 4y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9x-x=7+17$$

Żid 9x ma' -x.

$$8x=7+17$$

Żid 7 ma' 17.

$$8x=24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'x-4y=-17. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$3-4y=-17$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=-20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=5$$