Issolvi {l}{9x+9y=18}{11x+9y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 9 y = 18 } \\ { 11 x + 9 y = 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9x+9y=18$$

Naqqas 9y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=-9y+18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-9y+18\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'-9y+18.

$$x=-y+2$$

Issostitwixxi -y+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 11x+9y=16.

$$11\left(-y+2\right)+9y=16$$

Immultiplika 11 b'-y+2.

$$-11y+22+9y=16$$

Żid -11y ma' 9y.

$$-2y+22=16$$

Naqqas 22 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=-y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3+2$$

Żid 2 ma' -3.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-9\times 11}&-\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\\-\frac{11}{9\times 9-9\times 11}&\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{11}{18}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 18+\frac{1}{2}\times 16\\\frac{11}{18}\times 18-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

Naqqas 11x+9y=16 minn 9x+9y=18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$9x-11x+9y-9y=18-16$$

Żid 9y ma' -9y. 9y u -9y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9x-11x=18-16$$

Żid 9x ma' -11x.

$$-2x=18-16$$

Żid 18 ma' -16.

$$-2x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'11x+9y=16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$11\left(-1\right)+9y=16$$

Immultiplika 11 b'-1.

$$-11+9y=16$$

Żid 11 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9y=27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=3$$