Issolvi {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9x+13y=9$$

Naqqas 13y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=-13y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'-13y+9.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

Issostitwixxi -\frac{13y}{9}+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=11.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

Immultiplika 2 b'-\frac{13y}{9}+1.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

Żid -\frac{26y}{9} ma' y.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{17}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Issostitwixxi -\frac{81}{17} għal y f'x=-\frac{13}{9}y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

Immultiplika -\frac{13}{9} b'-\frac{81}{17} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

Żid 1 ma' \frac{117}{17}.

$$x=\frac{134}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Biex tagħmel 9x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'9.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

Issimplifika.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

Naqqas 18x+9y=99 minn 18x+26y=18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$26y-9y=18-99$$

Żid 26y ma' -9y.

$$17y=18-99$$

Żid 18 ma' -99.

$$17y=-81$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Issostitwixxi -\frac{81}{17} għal y f'2x+y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

Żid \frac{81}{17} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{268}{17}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{134}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$