Issolvi {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$80x+160y=4$$

Naqqas 160y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$80x=-160y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{80} b'-160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Issostitwixxi -2y+\frac{1}{20} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

Żid -2y ma' 3y.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

Naqqas \frac{1}{20} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{1}{20}$$

Issostitwixxi \frac{1}{20} għal y f'x=-2y+\frac{1}{20}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

Immultiplika -2 b'\frac{1}{20}.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

Żid \frac{1}{20} ma' -\frac{1}{10} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{1}{20}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Biex tagħmel 80x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'80.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

Issimplifika.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

Naqqas 80x+240y=8 minn 80x+160y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

Żid 80x ma' -80x. 80x u -80x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$160y-240y=4-8$$

Żid 160y ma' -240y.

$$-80y=4-8$$

Żid 4 ma' -8.

$$-80y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-80.

$$y=\frac{1}{20}$$

Issostitwixxi \frac{1}{20} għal y f'x+3y=0.1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

Immultiplika 3 b'\frac{1}{20}.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

Naqqas \frac{3}{20} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{1}{20}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$