Issolvi {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$80x+160y=4$$

Naqqas 160y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$80x=-160y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{80} b'-160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Issostitwixxi -2y+\frac{1}{20} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

Immultiplika 5600 b'-2y+\frac{1}{20}.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

Żid -11200y ma' 5600y.

$$-5600y+280=5536$$

Naqqas 280 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5600y=5256$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5600.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Issostitwixxi -\frac{657}{700} għal y f'x=-2y+\frac{1}{20}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

Immultiplika -2 b'-\frac{657}{700}.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

Żid \frac{1}{20} ma' \frac{657}{350} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Biex tagħmel 80x u 5600x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5600 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'80.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

Issimplifika.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

Naqqas 448000x+448000y=442880 minn 448000x+896000y=22400 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

Żid 448000x ma' -448000x. 448000x u -448000x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

Żid 896000y ma' -448000y.

$$448000y=22400-442880$$

Żid 22400 ma' -442880.

$$448000y=-420480$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'448000.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Issostitwixxi -\frac{657}{700} għal y f'5600x+5600y=5536. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

Immultiplika 5600 b'-\frac{657}{700}.

$$5600x-5256=5536$$

Żid 5256 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5600x=10792$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5600.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$