Issolvi {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8y+x=7$$

Naqqas x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8y=-x+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'-x+7.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

Issostitwixxi \frac{-x+7}{8} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

Immultiplika 7 b'\frac{-x+7}{8}.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

Żid -\frac{7x}{8} ma' 8x.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

Naqqas \frac{49}{8} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{57}{8}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{79}{57}$$

Issostitwixxi \frac{79}{57} għal x f'y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

Immultiplika -\frac{1}{8} b'\frac{79}{57} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

Żid \frac{7}{8} ma' -\frac{79}{456} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=\frac{40}{57}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Biex tagħmel 8y u 7y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'8.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

Issimplifika.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

Naqqas 56y+64x=128 minn 56y+7x=49 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

Żid 56y ma' -56y. 56y u -56y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7x-64x=49-128$$

Żid 7x ma' -64x.

$$-57x=49-128$$

Żid 49 ma' -128.

$$-57x=-79$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-57.

$$x=\frac{79}{57}$$

Issostitwixxi \frac{79}{57} għal x f'7y+8x=16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

Immultiplika 8 b'\frac{79}{57}.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

Naqqas \frac{632}{57} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7y=\frac{280}{57}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=\frac{40}{57}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$