Issolvi {l}{8x-7y=16}{-x+y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 7 y = 16 } \\ { - x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=9$$

$$y=8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8x-7y=16,-x+y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8x-7y=16$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=7y+16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{8}\left(7y+16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'7y+16.

$$x=\frac{7}{8}y+2$$

Issostitwixxi \frac{7y}{8}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+y=-1.

$$-\left(\frac{7}{8}y+2\right)+y=-1$$

Immultiplika -1 b'\frac{7y}{8}+2.

$$-\frac{7}{8}y-2+y=-1$$

Żid -\frac{7y}{8} ma' y.

$$\frac{1}{8}y-2=-1$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{8}y=1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'8.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'x=\frac{7}{8}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{8}\times 8+2$$

Immultiplika \frac{7}{8} b'8.

$$x=7+2$$

Żid 2 ma' 7.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8x-7y=16,-x+y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{8-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{8-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&7\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16+7\left(-1\right)\\16+8\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=9,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8x-7y=16,-x+y=-1$$

Biex tagħmel 8x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'8.

$$-8x-\left(-7y\right)=-16,8\left(-1\right)x+8y=8\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$-8x+7y=-16,-8x+8y=-8$$

Naqqas -8x+8y=-8 minn -8x+7y=-16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-8x+8x+7y-8y=-16+8$$

Żid -8x ma' 8x. -8x u 8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7y-8y=-16+8$$

Żid 7y ma' -8y.

$$-y=-16+8$$

Żid -16 ma' 8.

$$-y=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'-x+y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+8=-1$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=8$$