Issolvi {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8x-5y=10$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=5y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

Immultiplika 6 b'\frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

Żid \frac{15y}{4} ma' -4y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

Naqqas \frac{15}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=-14$$

Issostitwixxi -14 għal y f'x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

Immultiplika \frac{5}{8} b'-14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

Żid \frac{5}{4} ma' -\frac{35}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Biex tagħmel 8x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'8.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

Issimplifika.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

Naqqas 48x-32y=88 minn 48x-30y=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

Żid 48x ma' -48x. 48x u -48x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-30y+32y=60-88$$

Żid -30y ma' 32y.

$$2y=60-88$$

Żid 60 ma' -88.

$$2y=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-14$$

Issostitwixxi -14 għal y f'6x-4y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

Immultiplika -4 b'-14.

$$6x+56=11$$

Naqqas 56 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$