Issolvi {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$8+4x-2y=0$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$4x-2y=-8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-4x+3y=14$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-2y=-8$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=2y-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}-2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Immultiplika -4 b'\frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Żid -2y ma' 3y.

$$y+8=14$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=\frac{1}{2}y-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'6.

$$x=3-2$$

Żid -2 ma' 3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$8+4x-2y=0$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$4x-2y=-8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-4x+3y=14$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$8+4x-2y=0$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$4x-2y=-8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-4x+3y=14$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Biex tagħmel 4x u -4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Issimplifika.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Naqqas -16x+12y=56 minn -16x+8y=32 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Żid -16x ma' 16x. -16x u 16x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y-12y=32-56$$

Żid 8y ma' -12y.

$$-4y=32-56$$

Żid 32 ma' -56.

$$-4y=-24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'-4x+3y=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-4x+3\times 6=14$$

Immultiplika 3 b'6.

$$-4x+18=14$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=6$$