Issolvi {l}{75^2a+75b=2250}{84^2a+84b=2250}

$$\left. \begin{array} { l } { 75 ^ { 2 } a + 75 b = 2250 } \\ { 84 ^ { 2 } a + 84 b = 2250 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=-\frac{5}{14}\approx -0.357142857$$

$$b = \frac{795}{14} = 56\frac{11}{14} \approx 56.785714286$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5625a+75b=2250,7056a+84b=2250$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5625a+75b=2250$$

Naqqas 75b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5625a=-75b+2250$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5625.

$$a=\frac{1}{5625}\left(-75b+2250\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5625} b'-75b+2250.

$$a=-\frac{1}{75}b+\frac{2}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{b}{75}+\frac{2}{5} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 7056a+84b=2250.

$$7056\left(-\frac{1}{75}b+\frac{2}{5}\right)+84b=2250$$

Immultiplika 7056 b'-\frac{b}{75}+\frac{2}{5}.

$$-\frac{2352}{25}b+\frac{14112}{5}+84b=2250$$

Żid -\frac{2352b}{25} ma' 84b.

$$-\frac{252}{25}b+\frac{14112}{5}=2250$$

Naqqas \frac{14112}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{252}{25}b=-\frac{2862}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{252}{25}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=\frac{795}{14}$$

Issostitwixxi \frac{795}{14} għal b f'a=-\frac{1}{75}b+\frac{2}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{1}{75}\times \frac{795}{14}+\frac{2}{5}$$

Immultiplika -\frac{1}{75} b'\frac{795}{14} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$a=-\frac{53}{70}+\frac{2}{5}$$

Żid \frac{2}{5} ma' -\frac{53}{70} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=-\frac{5}{14}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=-\frac{5}{14},b=\frac{795}{14}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5625a+75b=2250,7056a+84b=2250$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5625&75\\7056&84\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2250\\2250\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5625&75\\7056&84\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5625&75\\7056&84\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5625&75\\7056&84\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5625&75\\7056&84\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2250\\2250\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5625&75\\7056&84\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2250\\2250\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5625&75\\7056&84\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2250\\2250\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{5625\times 84-75\times 7056}&-\frac{75}{5625\times 84-75\times 7056}\\-\frac{7056}{5625\times 84-75\times 7056}&\frac{5625}{5625\times 84-75\times 7056}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2250\\2250\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{675}&\frac{1}{756}\\\frac{28}{225}&-\frac{25}{252}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2250\\2250\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{675}\times 2250+\frac{1}{756}\times 2250\\\frac{28}{225}\times 2250-\frac{25}{252}\times 2250\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{14}\\\frac{795}{14}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=-\frac{5}{14},b=\frac{795}{14}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5625a+75b=2250,7056a+84b=2250$$

Biex tagħmel 5625a u 7056a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7056 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5625.

$$7056\times 5625a+7056\times 75b=7056\times 2250,5625\times 7056a+5625\times 84b=5625\times 2250$$

Issimplifika.

$$39690000a+529200b=15876000,39690000a+472500b=12656250$$

Naqqas 39690000a+472500b=12656250 minn 39690000a+529200b=15876000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$39690000a-39690000a+529200b-472500b=15876000-12656250$$

Żid 39690000a ma' -39690000a. 39690000a u -39690000a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$529200b-472500b=15876000-12656250$$

Żid 529200b ma' -472500b.

$$56700b=15876000-12656250$$

Żid 15876000 ma' -12656250.

$$56700b=3219750$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'56700.

$$b=\frac{795}{14}$$

Issostitwixxi \frac{795}{14} għal b f'7056a+84b=2250. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$7056a+84\times \frac{795}{14}=2250$$

Immultiplika 84 b'\frac{795}{14}.

$$7056a+4770=2250$$

Naqqas 4770 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7056a=-2520$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7056.

$$a=-\frac{5}{14}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=-\frac{5}{14},b=\frac{795}{14}$$