Issolvi {l}{73x-7y=66}{18x+98y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$73x-7y=66$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$73x=7y+66$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'73.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

Immultiplika \frac{1}{73} b'7y+66.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

Issostitwixxi \frac{7y+66}{73} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 18x+98y=25.

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

Immultiplika 18 b'\frac{7y+66}{73}.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

Żid \frac{126y}{73} ma' 98y.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

Naqqas \frac{1188}{73} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7280}{73}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{7}{80}$$

Issostitwixxi \frac{7}{80} għal y f'x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

Immultiplika \frac{7}{73} b'\frac{7}{80} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

Żid \frac{66}{73} ma' \frac{49}{5840} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{73}{80}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Biex tagħmel 73x u 18x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'18 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'73.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

Issimplifika.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

Naqqas 1314x+7154y=1825 minn 1314x-126y=1188 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

Żid 1314x ma' -1314x. 1314x u -1314x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

Żid -126y ma' -7154y.

$$-7280y=1188-1825$$

Żid 1188 ma' -1825.

$$-7280y=-637$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7280.

$$y=\frac{7}{80}$$

Issostitwixxi \frac{7}{80} għal y f'18x+98y=25. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

Immultiplika 98 b'\frac{7}{80}.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

Naqqas \frac{343}{40} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$18x=\frac{657}{40}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'18.

$$x=\frac{73}{80}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$