Issolvi {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x+5y=12$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=-5y+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-5y+12.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+12}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

Immultiplika 8 b'\frac{-5y+12}{7}.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

Żid -\frac{40y}{7} ma' -2y.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

Naqqas \frac{96}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{54}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{47}{54}$$

Issostitwixxi \frac{47}{54} għal y f'x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

Immultiplika -\frac{5}{7} b'\frac{47}{54} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

Żid \frac{12}{7} ma' -\frac{235}{378} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{59}{54}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Biex tagħmel 7x u 8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

Issimplifika.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

Naqqas 56x-14y=49 minn 56x+40y=96 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

Żid 56x ma' -56x. 56x u -56x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$40y+14y=96-49$$

Żid 40y ma' 14y.

$$54y=96-49$$

Żid 96 ma' -49.

$$54y=47$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'54.

$$y=\frac{47}{54}$$

Issostitwixxi \frac{47}{54} għal y f'8x-2y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

Immultiplika -2 b'\frac{47}{54}.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

Żid \frac{47}{27} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=\frac{236}{27}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{59}{54}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$