Issolvi {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x+3y=4$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=-3y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-3y+4.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+4}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+4y=8.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

Immultiplika 2 b'\frac{-3y+4}{7}.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

Żid -\frac{6y}{7} ma' 4y.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

Naqqas \frac{8}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{22}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{24}{11}$$

Issostitwixxi \frac{24}{11} għal y f'x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

Immultiplika -\frac{3}{7} b'\frac{24}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

Żid \frac{4}{7} ma' -\frac{72}{77} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Biex tagħmel 7x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

Issimplifika.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

Naqqas 14x+28y=56 minn 14x+6y=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

Żid 14x ma' -14x. 14x u -14x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-28y=8-56$$

Żid 6y ma' -28y.

$$-22y=8-56$$

Żid 8 ma' -56.

$$-22y=-48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$y=\frac{24}{11}$$

Issostitwixxi \frac{24}{11} għal y f'2x+4y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

Immultiplika 4 b'\frac{24}{11}.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

Naqqas \frac{96}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$