Issolvi {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2z miż-żewġ naħat.

$$5w-2z=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal w billi tiżola w fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7w+2z=16$$

Naqqas 2z miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7w=-2z+16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-2z+16}{7} għal w fl-ekwazzjoni l-oħra, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

Immultiplika 5 b'\frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Żid -\frac{10z}{7} ma' -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Naqqas \frac{80}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{24}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$z=1$$

Issostitwixxi 1 għal z f'w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal w direttament.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Żid \frac{16}{7} ma' -\frac{2}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$w=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$w=2,z=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2z miż-żewġ naħat.

$$5w-2z=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi w u z.

$$w=2,z=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2z miż-żewġ naħat.

$$5w-2z=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Biex tagħmel 7w u 5w ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Issimplifika.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Naqqas 35w-14z=56 minn 35w+10z=80 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Żid 35w ma' -35w. 35w u -35w jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10z+14z=80-56$$

Żid 10z ma' 14z.

$$24z=80-56$$

Żid 80 ma' -56.

$$24z=24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$z=1$$

Issostitwixxi 1 għal z f'5w-2z=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal w direttament.

$$5w-2=8$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5w=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$w=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$w=2,z=1$$