Issolvi {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$62x+y=44$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$62x=-y+44$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'62.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

Immultiplika \frac{1}{62} b'-y+44.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

Immultiplika 34 b'-\frac{y}{62}+\frac{22}{31}.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

Żid -\frac{17y}{31} ma' -y.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

Naqqas \frac{748}{31} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{48}{31}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{23}{3} għal y f'x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

Immultiplika -\frac{1}{62} b'-\frac{23}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

Żid \frac{22}{31} ma' \frac{23}{186} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{5}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Biex tagħmel 62x u 34x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'34 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'62.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

Issimplifika.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

Naqqas 2108x-62y=2232 minn 2108x+34y=1496 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

Żid 2108x ma' -2108x. 2108x u -2108x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$34y+62y=1496-2232$$

Żid 34y ma' 62y.

$$96y=1496-2232$$

Żid 1496 ma' -2232.

$$96y=-736$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'96.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{23}{3} għal y f'34x-y=36. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

Naqqas \frac{23}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$34x=\frac{85}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'34.

$$x=\frac{5}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$