Issolvi {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6y+4x=27$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6y=-4x+27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

Żid -\frac{2x}{3} ma' x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

Naqqas \frac{9}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{273}{2}$$

Issostitwixxi \frac{273}{2} għal x f'y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'\frac{273}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

Żid \frac{9}{2} ma' -91.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Biex tagħmel 6y u y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

Issimplifika.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

Naqqas 6y+6x=300 minn 6y+4x=27 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

Żid 6y ma' -6y. 6y u -6y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4x-6x=27-300$$

Żid 4x ma' -6x.

$$-2x=27-300$$

Żid 27 ma' -300.

$$-2x=-273$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=\frac{273}{2}$$

Issostitwixxi \frac{273}{2} għal x f'y+x=50. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

Naqqas \frac{273}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$