Issolvi {l}{6x+64y=m}{x+2/3y=0.05}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 64 y = m } \\ { x + \frac { 2 } { 3 } y = 0.05 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75}$$

$$y=\frac{m}{60}-0.005$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+64y=m,x+\frac{2}{3}y=0.05$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+64y=m$$

Naqqas 64y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-64y+m$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-64y+m\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-64y+m.

$$x=-\frac{32}{3}y+\frac{m}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{32y}{3}+\frac{m}{6} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+\frac{2}{3}y=0.05.

$$-\frac{32}{3}y+\frac{m}{6}+\frac{2}{3}y=0.05$$

Żid -\frac{32y}{3} ma' \frac{2y}{3}.

$$-10y+\frac{m}{6}=0.05$$

Naqqas \frac{m}{6} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10y=-\frac{m}{6}+\frac{1}{20}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{200}+\frac{m}{60} għal y f'x=-\frac{32}{3}y+\frac{m}{6}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{32}{3}\left(\frac{m}{60}-\frac{1}{200}\right)+\frac{m}{6}$$

Immultiplika -\frac{32}{3} b'-\frac{1}{200}+\frac{m}{60}.

$$x=-\frac{8m}{45}+\frac{4}{75}+\frac{m}{6}$$

Żid \frac{m}{6} ma' \frac{4}{75}-\frac{8m}{45}.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75},y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+64y=m,x+\frac{2}{3}y=0.05$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{6\times \frac{2}{3}-64}&-\frac{64}{6\times \frac{2}{3}-64}\\-\frac{1}{6\times \frac{2}{3}-64}&\frac{6}{6\times \frac{2}{3}-64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{90}&\frac{16}{15}\\\frac{1}{60}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{90}m+\frac{16}{15}\times 0.05\\\frac{1}{60}m-\frac{1}{10}\times 0.05\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{90}+\frac{4}{75}\\\frac{m}{60}-\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75},y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+64y=m,x+\frac{2}{3}y=0.05$$

Biex tagħmel 6x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$6x+64y=m,6x+6\times \frac{2}{3}y=6\times 0.05$$

Issimplifika.

$$6x+64y=m,6x+4y=0.3$$

Naqqas 6x+4y=0.3 minn 6x+64y=m billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+64y-4y=m-0.3$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$64y-4y=m-0.3$$

Żid 64y ma' -4y.

$$60y=m-0.3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'60.

$$y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$

Issostitwixxi \frac{m}{60}-\frac{1}{200} għal y f'x+\frac{2}{3}y=0.05. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+\frac{2}{3}\left(\frac{m}{60}-\frac{1}{200}\right)=0.05$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'\frac{m}{60}-\frac{1}{200}.

$$x+\frac{m}{90}-\frac{1}{300}=0.05$$

Naqqas -\frac{1}{300}+\frac{m}{90} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75},y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$