Issolvi {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+5y=27$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-5y+27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-5y+27.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=13.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

Immultiplika 2 b'-\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

Żid -\frac{5y}{3} ma' y.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{2}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

Immultiplika -\frac{5}{6} b'-6.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

Żid \frac{9}{2} ma' 5.

$$x=\frac{19}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Biex tagħmel 6x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

Issimplifika.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

Naqqas 12x+6y=78 minn 12x+10y=54 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y-6y=54-78$$

Żid 10y ma' -6y.

$$4y=54-78$$

Żid 54 ma' -78.

$$4y=-24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'2x+y=13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-6=13$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{19}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$