Issolvi {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+3y=25.95$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-3y+25.95$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

Immultiplika 4 b'-\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

Żid -2y ma' 6y.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

Naqqas \frac{173}{10} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=\frac{47}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=\frac{47}{20}$$

Issostitwixxi \frac{47}{20} għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'\frac{47}{20} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

Żid \frac{173}{40} ma' -\frac{47}{40} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{63}{20}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Biex tagħmel 6x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

Issimplifika.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

Naqqas 24x+36y=160.2 minn 24x+12y=103.8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Żid 24x ma' -24x. 24x u -24x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Żid 12y ma' -36y.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

Żid 103.8 ma' -160.2 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$-24y=-56.4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-24.

$$y=\frac{47}{20}$$

Issostitwixxi \frac{47}{20} għal y f'4x+6y=26.7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

Immultiplika 6 b'\frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

Naqqas \frac{141}{10} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=\frac{63}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{63}{20}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$