Issolvi {l}{6x+2y=-6}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = - 6 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+2y=-6$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-2y-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-2y-6.

$$x=-\frac{1}{3}y-1$$

Issostitwixxi -\frac{y}{3}-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-y=9.

$$3\left(-\frac{1}{3}y-1\right)-y=9$$

Immultiplika 3 b'-\frac{y}{3}-1.

$$-y-3-y=9$$

Żid -y ma' -y.

$$-2y-3=9$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'x=-\frac{1}{3}y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-6\right)-1$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-6.

$$x=2-1$$

Żid -1 ma' 2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{6\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{6}{6\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{6}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Biex tagħmel 6x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\left(-6\right),6\times 3x+6\left(-1\right)y=6\times 9$$

Issimplifika.

$$18x+6y=-18,18x-6y=54$$

Naqqas 18x-6y=54 minn 18x+6y=-18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x+6y+6y=-18-54$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y+6y=-18-54$$

Żid 6y ma' 6y.

$$12y=-18-54$$

Żid -18 ma' -54.

$$12y=-72$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'3x-y=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-\left(-6\right)=9$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-6$$