Issolvi {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6m-5n=-9$$

Żid 5n maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6m=5n-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'5n-9.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

Immultiplika 4 b'\frac{5n}{6}-\frac{3}{2}.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

Żid \frac{10n}{3} ma' 3n.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{19}{3}n=71$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{19}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=\frac{213}{19}$$

Issostitwixxi \frac{213}{19} għal n f'm=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

Immultiplika \frac{5}{6} b'\frac{213}{19} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Żid -\frac{3}{2} ma' \frac{355}{38} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$m=\frac{149}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Biex tagħmel 6m u 4m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Issimplifika.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

Naqqas 24m+18n=390 minn 24m-20n=-36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

Żid 24m ma' -24m. 24m u -24m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-20n-18n=-36-390$$

Żid -20n ma' -18n.

$$-38n=-36-390$$

Żid -36 ma' -390.

$$-38n=-426$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-38.

$$n=\frac{213}{19}$$

Issostitwixxi \frac{213}{19} għal n f'4m+3n=65. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

Immultiplika 3 b'\frac{213}{19}.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

Naqqas \frac{639}{19} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4m=\frac{596}{19}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$m=\frac{149}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$