Issolvi {l}{5x-y=3}{-2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-y=3$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'y+3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3+y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+4y=12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

Immultiplika -2 b'\frac{3+y}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

Żid -\frac{2y}{5} ma' 4y.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

Żid \frac{6}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{18}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{11}{3}$$

Issostitwixxi \frac{11}{3} għal y f'x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'\frac{11}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

Żid \frac{3}{5} ma' \frac{11}{15} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{4}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Biex tagħmel 5x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

Issimplifika.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

Naqqas -10x+20y=60 minn -10x+2y=-6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-20y=-6-60$$

Żid 2y ma' -20y.

$$-18y=-6-60$$

Żid -6 ma' -60.

$$-18y=-66$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-18.

$$y=\frac{11}{3}$$

Issostitwixxi \frac{11}{3} għal y f'-2x+4y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

Immultiplika 4 b'\frac{11}{3}.

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

Naqqas \frac{44}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$