Issolvi {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$5x-8-y=0$$

Żid 8 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x-y=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-y=8$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi \frac{8+y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=2.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

Immultiplika 3 b'\frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

Żid \frac{3y}{5} ma' 2y.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

Naqqas \frac{24}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Issostitwixxi -\frac{14}{13} għal y f'x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-\frac{14}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

Żid \frac{8}{5} ma' -\frac{14}{65} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{18}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$5x-8-y=0$$

Żid 8 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x-y=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$5x-8-y=0$$

Żid 8 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x-y=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Biex tagħmel 5x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

Issimplifika.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

Naqqas 15x+10y=10 minn 15x-3y=24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-10y=24-10$$

Żid -3y ma' -10y.

$$-13y=24-10$$

Żid 24 ma' -10.

$$-13y=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Issostitwixxi -\frac{14}{13} għal y f'3x+2y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

Immultiplika 2 b'-\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

Żid \frac{28}{13} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{54}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{18}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$