Issolvi {l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-7y=4$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=7y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'7y+4.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

Issostitwixxi \frac{7y+4}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+2y=-3.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

Immultiplika -1 b'\frac{7y+4}{5}.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

Żid -\frac{7y}{5} ma' 2y.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

Żid \frac{4}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{11}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{11}{3} għal y f'x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

Immultiplika \frac{7}{5} b'-\frac{11}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

Żid \frac{4}{5} ma' -\frac{77}{15} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{13}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Biex tagħmel 5x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

Issimplifika.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

Naqqas -5x+10y=-15 minn -5x+7y=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

Żid -5x ma' 5x. -5x u 5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7y-10y=-4+15$$

Żid 7y ma' -10y.

$$-3y=-4+15$$

Żid -4 ma' 15.

$$-3y=11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-\frac{11}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{11}{3} għal y f'-x+2y=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

Immultiplika 2 b'-\frac{11}{3}.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

Żid \frac{22}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=\frac{13}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\frac{13}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$