Issolvi {l}{5x-7y=-9}{-2x-y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 9 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-7y=-9$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=7y-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'7y-9.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}$$

Issostitwixxi \frac{7y-9}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-y=-4.

$$-2\left(\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}\right)-y=-4$$

Immultiplika -2 b'\frac{7y-9}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}-y=-4$$

Żid -\frac{14y}{5} ma' -y.

$$-\frac{19}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

Naqqas \frac{18}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{38}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{19}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

Immultiplika \frac{7}{5} b'2.

$$x=\frac{14-9}{5}$$

Żid -\frac{9}{5} ma' \frac{14}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{7}{19}\\-\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-9\right)-\frac{7}{19}\left(-4\right)\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)-\frac{5}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

Biex tagħmel 5x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-2\times 5x-2\left(-7\right)y=-2\left(-9\right),5\left(-2\right)x+5\left(-1\right)y=5\left(-4\right)$$

Issimplifika.

$$-10x+14y=18,-10x-5y=-20$$

Naqqas -10x-5y=-20 minn -10x+14y=18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x+14y+5y=18+20$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$14y+5y=18+20$$

Żid 14y ma' 5y.

$$19y=18+20$$

Żid 18 ma' 20.

$$19y=38$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'-2x-y=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-2=-4$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$