Issolvi {l}{5x-6y=7}{x-y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 7 } \\ { x - y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-37$$

$$y=-32$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-6y=7,x-y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-6y=7$$

Żid 6y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=6y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'6y+7.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{7}{5}$$

Issostitwixxi \frac{6y+7}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-y=-5.

$$\frac{6}{5}y+\frac{7}{5}-y=-5$$

Żid \frac{6y}{5} ma' -y.

$$\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}=-5$$

Naqqas \frac{7}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-32$$

Issostitwixxi -32 għal y f'x=\frac{6}{5}y+\frac{7}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{6}{5}\left(-32\right)+\frac{7}{5}$$

Immultiplika \frac{6}{5} b'-32.

$$x=\frac{-192+7}{5}$$

Żid \frac{7}{5} ma' -\frac{192}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-37$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-37,y=-32$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-6y=7,x-y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+6\left(-5\right)\\-7+5\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-37\\-32\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-37,y=-32$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-6y=7,x-y=-5$$

Biex tagħmel 5x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$5x-6y=7,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$5x-6y=7,5x-5y=-25$$

Naqqas 5x-5y=-25 minn 5x-6y=7 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x-6y+5y=7+25$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y+5y=7+25$$

Żid -6y ma' 5y.

$$-y=7+25$$

Żid 7 ma' 25.

$$-y=32$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-32$$

Issostitwixxi -32 għal y f'x-y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-\left(-32\right)=-5$$

Naqqas 32 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-37$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-37,y=-32$$