Issolvi {l}{5x-6y=-25}{4x-3y+20=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 25 } \\ { 4 x - 3 y + 20 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-5$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-6y=-25$$

Żid 6y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=6y-25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-25\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'6y-25.

$$x=\frac{6}{5}y-5$$

Issostitwixxi \frac{6y}{5}-5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-3y+20=0.

$$4\left(\frac{6}{5}y-5\right)-3y+20=0$$

Immultiplika 4 b'\frac{6y}{5}-5.

$$\frac{24}{5}y-20-3y+20=0$$

Żid \frac{24y}{5} ma' -3y.

$$\frac{9}{5}y-20+20=0$$

Żid -20 ma' 20.

$$\frac{9}{5}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{9}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=\frac{6}{5}y-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-25\right)+\frac{2}{3}\left(-20\right)\\-\frac{4}{9}\left(-25\right)+\frac{5}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-5,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

Biex tagħmel 5x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$4\times 5x+4\left(-6\right)y=4\left(-25\right),5\times 4x+5\left(-3\right)y+5\times 20=0$$

Issimplifika.

$$20x-24y=-100,20x-15y+100=0$$

Naqqas 20x-15y+100=0 minn 20x-24y=-100 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x-24y+15y-100=-100$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-24y+15y-100=-100$$

Żid -24y ma' 15y.

$$-9y-100=-100$$

Żid 100 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'4x-3y+20=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+20=0$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=0$$