Issolvi {l}{5x-5y=5}{-6x+5y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = 5 } \\ { - 6 x + 5 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-5y=5$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=5y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(5y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'5+5y.

$$x=y+1$$

Issostitwixxi y+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -6x+5y=-6.

$$-6\left(y+1\right)+5y=-6$$

Immultiplika -6 b'y+1.

$$-6y-6+5y=-6$$

Żid -6y ma' 5y.

$$-y-6=-6$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&-\frac{-5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{6}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-\left(-6\right)\\-\frac{6}{5}\times 5-\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Biex tagħmel 5x u -6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-6\times 5x-6\left(-5\right)y=-6\times 5,5\left(-6\right)x+5\times 5y=5\left(-6\right)$$

Issimplifika.

$$-30x+30y=-30,-30x+25y=-30$$

Naqqas -30x+25y=-30 minn -30x+30y=-30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-30x+30x+30y-25y=-30+30$$

Żid -30x ma' 30x. -30x u 30x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$30y-25y=-30+30$$

Żid 30y ma' -25y.

$$5y=-30+30$$

Żid -30 ma' 30.

$$5y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'-6x+5y=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-6x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=0$$