Issolvi {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-3y-4=34$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x-3y=38$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=3y+38$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3y+38.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3y+38}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

Immultiplika -3 b'\frac{3y+38}{5}.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Żid -\frac{9y}{5} ma' 5y.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Żid -\frac{114}{5} ma' -18.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Żid \frac{204}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{16}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{187}{8}$$

Issostitwixxi \frac{187}{8} għal y f'x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'\frac{187}{8} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

Żid \frac{38}{5} ma' \frac{561}{40} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{173}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Biex tagħmel 5x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Issimplifika.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Naqqas -15x+25y-90=170 minn -15x+9y+12=-102 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

Żid -15x ma' 15x. -15x u 15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

Żid 9y ma' -25y.

$$-16y+12+90=-102-170$$

Żid 12 ma' 90.

$$-16y+102=-102-170$$

Żid -102 ma' -170.

$$-16y+102=-272$$

Naqqas 102 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-16y=-374$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-16.

$$y=\frac{187}{8}$$

Issostitwixxi \frac{187}{8} għal y f'-3x+5y-18=34. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

Immultiplika 5 b'\frac{187}{8}.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

Żid \frac{935}{8} ma' -18.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

Naqqas \frac{791}{8} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=\frac{173}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$