Issolvi {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-3y=2$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=3y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3y+2}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+2y=-5.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

Immultiplika 6 b'\frac{3y+2}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

Żid \frac{18y}{5} ma' 2y.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

Naqqas \frac{12}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{28}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Issostitwixxi -\frac{37}{28} għal y f'x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'-\frac{37}{28} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

Żid \frac{2}{5} ma' -\frac{111}{140} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Biex tagħmel 5x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

Naqqas 30x+10y=-25 minn 30x-18y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

Żid 30x ma' -30x. 30x u -30x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-18y-10y=12+25$$

Żid -18y ma' -10y.

$$-28y=12+25$$

Żid 12 ma' 25.

$$-28y=37$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-28.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Issostitwixxi -\frac{37}{28} għal y f'6x+2y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

Immultiplika 2 b'-\frac{37}{28}.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

Żid \frac{37}{14} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$