Issolvi {l}{5x=4y-2}{5y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$5x-4y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$5y+1-x=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5y-x=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-4y=-2$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=4y-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'4y-2.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4y-2}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+5y=-1.

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

Immultiplika -1 b'\frac{4y-2}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

Żid -\frac{4y}{5} ma' 5y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

Naqqas \frac{2}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{21}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{3} għal y f'x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

Immultiplika \frac{4}{5} b'-\frac{1}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

Żid -\frac{2}{5} ma' -\frac{4}{15} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$5x-4y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$5y+1-x=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5y-x=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$5x-4y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$5y+1-x=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5y-x=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Biex tagħmel 5x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

Naqqas -5x+25y=-5 minn -5x+4y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

Żid -5x ma' 5x. -5x u 5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-25y=2+5$$

Żid 4y ma' -25y.

$$-21y=2+5$$

Żid 2 ma' 5.

$$-21y=7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-21.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{3} għal y f'-x+5y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

Immultiplika 5 b'-\frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

Żid \frac{5}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=\frac{2}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$