Issolvi {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$5x-2y=16$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$7x+2y=32$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-2y=16$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=2y+16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Issostitwixxi \frac{16+2y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

Immultiplika 7 b'\frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

Żid \frac{14y}{5} ma' 2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

Naqqas \frac{112}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{24}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Żid \frac{16}{5} ma' \frac{4}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$5x-2y=16$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$7x+2y=32$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$5x-2y=16$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$7x+2y=32$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Biex tagħmel 5x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

Issimplifika.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

Naqqas 35x+10y=160 minn 35x-14y=112 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

Żid 35x ma' -35x. 35x u -35x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-14y-10y=112-160$$

Żid -14y ma' -10y.

$$-24y=112-160$$

Żid 112 ma' -160.

$$-24y=-48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-24.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'7x+2y=32. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x+2\times 2=32$$

Immultiplika 2 b'2.

$$7x+4=32$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=2$$