Issolvi {l}{5x+y=19}{2x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=6$$

$$y=-11$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+y=19$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-y+19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-y+19.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-y+19}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=1.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

Immultiplika 2 b'\frac{-y+19}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

Żid -\frac{2y}{5} ma' y.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

Naqqas \frac{38}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-11$$

Issostitwixxi -11 għal y f'x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-11.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

Żid \frac{19}{5} ma' \frac{11}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=-11$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=6,y=-11$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Naqqas 2x+y=1 minn 5x+y=19 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5x-2x=19-1$$

Żid 5x ma' -2x.

$$3x=19-1$$

Żid 19 ma' -1.

$$3x=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=6$$

Issostitwixxi 6 għal x f'2x+y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2\times 6+y=1$$

Immultiplika 2 b'6.

$$12+y=1$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-11$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=-11$$