Issolvi {l}{5x+6y=1}{5x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 1 } \\ { 5 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+6y=1$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-6y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-6y+1.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-6y+1}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+y=1.

$$5\left(-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}\right)+y=1$$

Immultiplika 5 b'\frac{-6y+1}{5}.

$$-6y+1+y=1$$

Żid -6y ma' y.

$$-5y+1=1$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-6\times 5}&-\frac{6}{5-6\times 5}\\-\frac{5}{5-6\times 5}&\frac{5}{5-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{6}{25}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+6}{25}\\\frac{1-1}{5}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

Naqqas 5x+y=1 minn 5x+6y=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x+6y-y=1-1$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-y=1-1$$

Żid 6y ma' -y.

$$5y=1-1$$

Żid 1 ma' -1.

$$5y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'5x+y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$