Issolvi {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+5y=14$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-5y+14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-5y+14.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

Issostitwixxi -y+\frac{14}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

Immultiplika 2 b'-y+\frac{14}{5}.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

Żid -2y ma' 4y.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

Naqqas \frac{28}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=\frac{22}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{11}{5}$$

Issostitwixxi \frac{11}{5} għal y f'x=-y+\frac{14}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

Immultiplika -1 b'\frac{11}{5}.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

Żid \frac{14}{5} ma' -\frac{11}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

Issimplifika.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

Naqqas 10x+20y=50 minn 10x+10y=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y-20y=28-50$$

Żid 10y ma' -20y.

$$-10y=28-50$$

Żid 28 ma' -50.

$$-10y=-22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=\frac{11}{5}$$

Issostitwixxi \frac{11}{5} għal y f'2x+4y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

Immultiplika 4 b'\frac{11}{5}.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

Naqqas \frac{44}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{6}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$