Issolvi {l}{5x+4y=8}{2x-3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 8 } \\ { 2 x - 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+4y=8$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-4y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-4y+8.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-4y+8}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=17.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=17$$

Immultiplika 2 b'\frac{-4y+8}{5}.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{16}{5}-3y=17$$

Żid -\frac{8y}{5} ma' -3y.

$$-\frac{23}{5}y+\frac{16}{5}=17$$

Naqqas \frac{16}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{23}{5}y=\frac{69}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{23}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-3\right)+\frac{8}{5}$$

Immultiplika -\frac{4}{5} b'-3.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Żid \frac{8}{5} ma' \frac{12}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-4\times 2}&-\frac{4}{5\left(-3\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-4\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\\\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\times 8+\frac{4}{23}\times 17\\\frac{2}{23}\times 8-\frac{5}{23}\times 17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 8,5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 17$$

Issimplifika.

$$10x+8y=16,10x-15y=85$$

Naqqas 10x-15y=85 minn 10x+8y=16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+8y+15y=16-85$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y+15y=16-85$$

Żid 8y ma' 15y.

$$23y=16-85$$

Żid 16 ma' -85.

$$23y=-69$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'23.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'2x-3y=17. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\left(-3\right)=17$$

Immultiplika -3 b'-3.

$$2x+9=17$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-3$$