Issolvi {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+3y=7$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-3y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+7}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

Immultiplika -2 b'\frac{-3y+7}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

Żid \frac{6y}{5} ma' y.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

Żid \frac{14}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{19}{11}$$

Issostitwixxi \frac{19}{11} għal y f'x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

Immultiplika -\frac{3}{5} b'\frac{19}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

Żid \frac{7}{5} ma' -\frac{57}{55} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{4}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Biex tagħmel 5x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

Issimplifika.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

Naqqas -10x+5y=5 minn -10x-6y=-14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y-5y=-14-5$$

Żid -6y ma' -5y.

$$-11y=-14-5$$

Żid -14 ma' -5.

$$-11y=-19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=\frac{19}{11}$$

Issostitwixxi \frac{19}{11} għal y f'-2x+y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

Naqqas \frac{19}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=\frac{4}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$