Issolvi {l}{5x+3y=14}{2x+y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 14 } \\ { 2 x + y = 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=28$$

$$y=-42$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+3y=14,2x+y=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+3y=14$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-3y+14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+14\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-3y+14.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+14}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)+y=14$$

Immultiplika 2 b'\frac{-3y+14}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{28}{5}+y=14$$

Żid -\frac{6y}{5} ma' y.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{28}{5}=14$$

Naqqas \frac{28}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{5}y=\frac{42}{5}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=-42$$

Issostitwixxi -42 għal y f'x=-\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-42\right)+\frac{14}{5}$$

Immultiplika -\frac{3}{5} b'-42.

$$x=\frac{126+14}{5}$$

Żid \frac{14}{5} ma' \frac{126}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=28$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=28,y=-42$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+3y=14,2x+y=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\times 2}&-\frac{3}{5-3\times 2}\\-\frac{2}{5-3\times 2}&\frac{5}{5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14+3\times 14\\2\times 14-5\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-42\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=28,y=-42$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+3y=14,2x+y=14$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 14,5\times 2x+5y=5\times 14$$

Issimplifika.

$$10x+6y=28,10x+5y=70$$

Naqqas 10x+5y=70 minn 10x+6y=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+6y-5y=28-70$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-5y=28-70$$

Żid 6y ma' -5y.

$$y=28-70$$

Żid 28 ma' -70.

$$y=-42$$

Issostitwixxi -42 għal y f'2x+y=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-42=14$$

Żid 42 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=56$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=28$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=28,y=-42$$